The arithmetic of algebraic varieti

The arithmetic of algebraic varieties is a very rich and old topic in both Number Theory and the Arithmetic Algebraic Geometry. The modern theory is in fact has a very fantastic approach, say the Grothendieck’s Idea on Scheme Theory. On this foundation, many huge conjectures has been tackled in the past half century, like Weil Conjecture, Mordell Conjecture, Shimura -Taniyama Conjecture, the Fermat’s Last Theorem and both did huge numbers of significant results in the Langlands programme. On the other hand, there are still many problems which are still far reaching, even if in the much low dimension, like the BSD conjecture and many conjectures related to the Geometric Galois Representation and so on.
We mainly focus on the case when the base field is of positive characteristics and dimensional one, In this case there is a much subtle correspondence between the two giant columns say, the algebraic function field and the algebraic curves over finite field, And almost equivalently, the classification of the algebraic extension of the important kind of global field is the same as the classification of the algebraic curves over finite field, that is to say, In many situations we can in fact do the two directional transformation between these two columns.
So our work is aimed at the the schemes which are of finite type over the finite field k whose irreducible components have the dimension 1, We will consider the phenomena which will only occur when the characteristic is positive, That is, we have the concepts of the p-rank of the associated to the Jacobian of the algebraic curves in this case.
A good question is how to do the classification of the curves with respect to the p-ranks of the associated Jacobian varieties, especially how to get the number of the curves with the specific p-rank and the specific ground field, how the subset of the moduli space of curves with rank-p structure looks like, i.e. What is its geometry and how to describe it.
The two extreme cases when the p-rank is 0 and g, the genus of the curve, which we call them the supersingular case and the ordinary case.
For hyperelliptic case, Jeffrey D. Achter, Rachel Pries give some important results on the moduli of the hyperelliptic curves with the given p-rank and genus.Many other authors also considered this problem like Faber & Van der Geer, Darren Glass, etc. Yui gives some results on the p-rank structure of hyperelliptics curves.
For genus 3 and above, non-hyperelliptic curves occur, even if we only focus on the non-singular curves.
In fact, for instance in the characteristics 2, we have a much explicit description of the moduli of curves over finite field, By the work of Enric Nart and Christophe Ritzenthaler, D. Sadornil, J. Scholten, H.J. Zhu, this have been done for genus 3.

結果 (法文) 1:

The arithmetic of algebraic varieties is a very rich and old topic in both Number Theory and the Arithmetic Algebraic Geometry. The modern theory is in fact has a very fantastic approach, say the Grothendieck’s Idea on Scheme Theory. On this foundation, many huge conjectures has been tackled in the past half century, like Weil Conjecture, Mordell Conjecture, Shimura -Taniyama Conjecture, the Fermat’s Last Theorem and both did huge numbers of significant results in the Langlands programme. On the other hand, there are still many problems which are still far reaching, even if in the much low dimension, like the BSD conjecture and many conjectures related to the Geometric Galois Representation and so on.We mainly focus on the case when the base field is of positive characteristics and dimensional one, In this case there is a much subtle correspondence between the two giant columns say, the algebraic function field and the algebraic curves over finite field, And almost equivalently, the classification of the algebraic extension of the important kind of global field is the same as the classification of the algebraic curves over finite field, that is to say, In many situations we can in fact do the two directional transformation between these two columns.Donc notre travail vise à la les régimes qui sont de type fini sur le corps fini k dont les composantes irréductibles ont la dimension 1, nous prendrons en considération les phénomènes qui ne se produira lorsque la caractéristique est positive, c'est, nous avons les concepts de la p-rang de l'associé à la jacobienne des courbes algébriques dans ce cas. Une bonne question est de savoir comment faire la classification des courbes en ce qui concerne les p-rangs des variétés jacobienne associées, en particulier comment obtenir le nombre des courbes avec le spécifique p-rang et le champ de masse spécifique, comment le sous-ensemble de l'espace de modules des courbes avec structure de rang-p ressemble, c'est-à-dire ce qui est sa géométrie et comment le décrire.Les deux cas extrêmes lorsque le p-rang est 0 et g, le genre de la courbe, que nous appelons l'affaire super-singulier et l'ordinaire.Pour hyperelliptiques cas, Jeffrey D. Achter, Rachel Pries donner quelques résultats importants sur les modules des courbes hyperelliptiques avec le p-grade donné et le genre. Beaucoup d'autres auteurs ont également considéré ce problème comme Faber & Van der Geer, Darren Glass, etc. YUI donne quelques résultats sur la structure de p-rang des courbes hyperelliptics.Genre 3 et supérieur, non-hyperelliptiques courbes se produisent, même si nous nous concentrons uniquement sur les courbes non singulière. En fait, par exemple dans les caractéristiques 2, nous avons beaucoup une description explicite des modules des courbes plus finie sur le terrain, par le œuvre de Enric Nart et Christophe Ritzenthaler, D. Sadornil, J. Scholten, H.J. Zhu, l'ont fait pour le genre 3.

結果 (法文) 2:

L'arithmétique des variétés algébriques est un sujet très riche et vieux à la fois dans la théorie des nombres et de l'Arithmétique Géométrie algébrique. La théorie moderne est en fait a une approche très fantastique, dire l'idée de la Grothendieck sur la théorie Scheme. Sur cette base, plusieurs énormes conjectures a été abordé dans le dernier demi-siècle, comme Weil Conjecture, Mordell Conjecture, Shimura -Taniyama Conjecture, de Fermat Last Theorem et tous les deux fait un grand nombre de résultats significatifs dans le programme de Langlands. D'autre part, il ya encore de nombreux problèmes qui touchent encore loin, même si, dans la dimension beaucoup plus faible, comme la conjecture de BSD et de nombreuses conjectures liées à la géométrique Galois Représentation et ainsi de suite.
Nous nous concentrons principalement sur ​​le cas lorsque la base champ est des caractéristiques positives et unidimensionnel, Dans ce cas, il existe une correspondance beaucoup plus subtile entre les deux colonnes géantes dire, le champ de fonction algébrique et les courbes algébriques sur champ fini, Et presque équivalente, la classification de l'extension algébrique de l'importante sorte de champ global est le même que la classification des courbes algébriques sur champ fini, à savoir, Dans de nombreuses situations, nous pouvons en fait faire les deux transformation directionnelle entre ces deux colonnes.
Donc, notre travail vise à les régimes qui sont de type fini sur le corps fini k dont les composantes irréductibles ont la dimension 1, nous considérons les phénomènes qui ne se produira que lorsque la caractéristique est positif, qui est, nous avons les concepts de la p-rang de l'associé à la jacobienne des courbes algébriques dans ce cas.
Une bonne question est de savoir comment faire la classification des courbes par rapport au P-rangs des variétés jacobiennes associés, en particulier la façon d'obtenir le nombre de courbes avec le p-rang et spécifique domaine spécifique au sol, comment le sous-ensemble de l'espace de modules des courbes avec une structure de rang p ressemble, à savoir Quelle est sa géométrie et la façon de le décrire.
Les deux cas extrêmes, lorsque le p-rang est 0 et g, le genre de la courbe, que nous appelons le cas supersingulière et le cas ordinaire.
Pour le cas hyperelliptique, Jeffrey D. Achter, Rachel Pries donner des résultats importants sur les modules des courbes hyperelliptiques avec le p-rang donné et genus.Many autres auteurs ont également considéré ce problème comme Faber & Van der Geer, Darren verre, etc. Yui donne quelques résultats sur la structure p-rang de courbes de hyperelliptics.
Pour genre 3 et au-dessus, les courbes non-hyperelliptiques se produisent, même si nous nous concentrons uniquement sur ​​le non-singulier courbes.
En fait, par exemple dans le caractéristiques 2, nous avons une description explicite bien des modules des courbes plus de champ fini, par le travail de Enric Nart et Christophe Ritzenthaler, D. Sadornil, J. Scholten, HJ Zhu, cela aura été fait pour le genre 3.

結果 (法文) 3:

l'arithmétique des variétés algébrique est très riche et vieux sujet tant dans la théorie et la géométrie algébrique arithmétique.la théorie moderne est en fait a une approche très fantastique, dit le régime grothendieck est idée théorique.sur cette base, de nombreux gros conjectures a été abordé dans le dernier demi - siècle, comme bien des conjectures, mordell conjecture, shimura - taniyama conjecture,le dernier théorème de fermat et les a fait un grand nombre de résultats importants dans le programme de langlands.en revanche, il existe encore de nombreux problèmes qui sont encore loin d'atteindre, même si dans la faible dimension, comme le document de base des conjectures et de nombreuses conjectures relatives à la représentation et à la moyenne géométrique de galois.
on se concentre principalement sur le cas lorsque la base est de dimensions caractéristiques positives et, dans ce cas, il est plus subtil de la correspondance entre les deux colonnes de géants, le champ et les courbes de algébrique fonction algébrique sur champ fini, et presque équivalente,la classification de l'extension algébrique de l'important type de domaine mondial est la même que la classification des courbes de algébriques sur champ fini, c'est - à - dire, dans de nombreux cas, on peut effectivement faire la transformation bidirectionnelles entre ces deux colonnes.notre travail vise à les régimes qui sont du type de fini au champ fini k dont les éléments irréductibles ont la dimension 1, nous examinerons les phénomènes qui ne pourra se faire que lorsque la caractéristique est positif, c'est que nous avons les concepts de la p-rank des associés à la jacobian des courbes de algébrique dans ce affaire.
une bonne question, c'est comment la classification des courbes en ce qui a trait à la jacobian associés p-ranks des variétés, notamment comment obtenir le nombre de courbes avec la p-rank et le terrain terrain, comment le sous - ensemble de la structure de l'espace des modules rank-p, on dirait des courbes, c'est - à - dire quelle est sa géométrie et comment pour le décrire.les deux cas extrêmes où la p-rank est 0 et g, le genre de la courbe, on les appelle les supersingular affaire et l'affaire ordinaire.
pour hyperelliptic, jeffrey d. achter, rachel fouine donne des résultats importants sur les modules des courbes de hyperelliptic avec les p-rank et genre. de nombreux autres auteurs ont également examiné ce problème comme faber & van der geer, darren, verre, etc.yui présente certains résultats sur les courbes de hyperelliptics p-rank structure du genre 3.
de courbes et au - dessus, non hyperelliptic survenir, même si on se concentre uniquement sur les courbes de non - singulier.- en fait, par exemple dans les caractéristiques 2, nous avons une description explicite des modules des courbes sur champ fini, par le travail de enric nart et christophe ritzenthaler, d. sadornil, j. scholten, h.j. zhu,cela a été fait pour genre 3.